（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1正三棱柱，D是BC中点
∴BB1⊥AD，BC⊥AD
∵BB1∩BC=B，
∴AD⊥面BB1D，
∴AD⊥B1D
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AD⊥面BB1D
∴AD⊥B1D，BC⊥AD，
∴∠BDB1二面角B1-AD-B的平面角
在RT△BB1D中BB1=a，BD=
a，1 2
∴cos∠BDB1=
5
5
（Ⅲ）解：由图知VC?AB1D＝VB1ADC，AA1=AB=a
∴VC?AB1D＝VB1ADC=
S△ADCBB1=1 3
a3．
3
24
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