（Ⅰ）∵f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1，（x＞1）
∴f′（x）=
-k，1 x?1
当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数，
当k＞0时，令f′（x）=0，得x=
k+1 k
当f′（x）＞0，即1＜x＜
时，函数为增函数，k+1 k
当f′（x）＜0，即x＞
时，函数为减函数，k+1 k
综上所述，当k≤0时，函数f（x）在（1，+∞）为增函数，
当k＞0时，函数f（x）在（1，
）为增函数，在（k+1 k
，+∞）为减函数．k+1 k
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当k≤0时，f′（x）＞0函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）≤0不恒成立，
当k＞0时，函数f（x）在（1，
）为减函数，在（k+1 k
，+∞）为增函数．k+1 k
当x=
时，f（x）取最大值，f（k+1 k
）=lnk+1 k
≤01 k
∴k≥1，
即实数k的取值范围为[1，+∞）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知k=1时，f（x）≤0恒成立，即ln（x-1）＜x-2
∴
＜1-ln(x?1) x
，2 x
取x=3，4，5…n，n+1累加得，
∵
=ln n+1
=2lnn 2(n+1)
＜lnn2
2(n+1)
=
n2?1 2(n+1)
n?1 2
∴
+ln2 3
+…+ln3 4
＜lnn n+1
+1 2
+2 2
+…+3 2
=n?1 2 n(n?1
内容全部来源于网络收集，如有侵权，请联系网站删除：QQ：24596024