15问答网 > 已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+3n+1-2n（n∈N+）（1）设bn=an?2n3n，证明：数列{bn}为等差数列，并求数

已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+3n+1-2n（n∈N+）（1）设bn=an?2n3n，证明：数列{bn}为等差数列，并求数

2025-05-19 23:58:17

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回答1：

（1）证明：∵bn+1?bn＝

an+1?2n+1

3n+1

an?2n

3an+3n+1?2n?2n+1

3n+1

an?2n

＝1，…（2分）
∴{b_n}为等差数列．
又b₁=0，∴b_n=n-1．…（4分）
∴an＝(n?1)?3n+2n．…（6分）
（2）解：设Tn＝0?31+1?32+…+(n?1)?3n，则
3Tn＝0?32+1?33+…+(n?1)?3n+1．
∴两式相减可得?2Tn＝32+…+3n?(n?1)?3n+1＝

9(1?3n?1)

1?3

?(n?1)?3n+1．…（10分）
∴Tn＝

9?3n+1

(n?1)?3n+1

＝

(2n?3)?3n+1+9

．
∴Sn＝Tn+(2+22+…+2n)＝

(2n?3)3n+1+2n+3+1

． …（14分）