15问答网 > 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0）,右顶点为（√3,0）。（1）求双曲线C的方程；（2）

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0）,右顶点为（√3,0）。（1）求双曲线C的方程；（2）

2025-05-20 19:26:54

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回答1：

(1)由题意得：
c=2, a=√3
∴b=√(c²-a²)=1
∴方程为：x²/3 - y^2=1
(2)设A(x1,y1)B(x2,y2),
将 y=kx+√2代入双曲线方程，
得(1-3k^2)x^2-6√2kx-9=0
Δ=72k^2+36(1-3k^2)>0，得k^2<1且k^2≠1/3(二次项系数不为0)
由韦达定理得：
x1+x2=(6√2k)/(1-3k^2)
x1x2=-9/(1-3k^2)
OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+√2)(kx2+√2)=(1+k^2)x1x2+√2k(x1+x2)+2 =(3k^2+7)/(3k^2-1)>2
得1/3 综上，得1/3 k∈(-1,-√3/3)∪(√3/3,1)

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