（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=-
，由f′（x）=0得：x=1．lnx x2
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
故f（x）在x=1处取得极大值1．
由题意得：
，解得
a+
＞2a-11 4 2a-1＜1＜a+
1 4
＜a＜1，3 4
故实数a得取值范围为(
，1)．3 4
（2）当x≥1时，不等式f（x）≥
恒成立，化为k≤k x+1
，(x+1)(1+lnx) x
令g（x）=
，(x+1)(1+lnx) x
由题意知：k≥g（x）在[1，+∞）上恒成立，g′(x)=
，x-lnx x2
再令h（x）=x-lnx（x≥1），则h′(x)=1-
≥0，当且仅当x=1时取等号，1 x
因此h（x）在[1，+∞）上递增，
∴h（x）≥h（1）=1＞0，
故g′（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上递增，∴g（x）min=g（1）=2，
因此k≤2，即k的取值范围为（-∞，2]．
（3）由（2）知，当x≥1时，不等式f（x）≥
恒成立，即k x+1
≥1+lnx x
．2 x+1
∴lnx≥1-
＞1-2 x+1
．2 x
令x=k（k+1），k∈N*，则有ln[k（k+1）]＞1-
=1-2(2 k(k+1)
-1 k
)，1 k+1
即ln[k（k+1）]＞1-2(
-1 k
)．1 k+1
分别令k=1，2，3，…n，
利用“累加求和”可得ln[1×22×32×…×n2×（n+1）]＞n-2+
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