二维Cauchy（柯西）不等式的适用范围

先问下问题，您哪个城市的？
学的东西一样亲切那。
作为已经考过联赛并且不过的懒人，我就说几句。
2010年的奥赛，出现了可能需要三维柯西不等式的内容，请勿拘泥于二阶。
顺便一提四阶卡尔松不等式也很重要，请尽量铭记。
三角形式的一般用不到，就别太在意了。
使用的不等式范围啊，咱记得只要是负1、2次的都可以试用一下，不过要注意范围，不要生搬硬套地乱用，许多都是变形以后才得解的。
特别注意题设中和为定值的条件，一般柯西不等式的使用以此为基础。
你应该知道不等式构成的条件是什么，一般都是同次之间的比较。
所以说尽量试着去构造这样的条件。
柯西不等式并非万能，只是老师给你的题很万能。
因为是专项练习题啊。
在此我总结一下，就看你看不看得懂了

在次数为负的不等式中，经常使用（一般是大于某值，99%都是）

在一些特定的齐次轮换式中用到，但是几率很低，一般这种都用轮换构造法

在形式相同的函数相加时，如指定函数关于X、Y、Z的函数值相加时用到，但是同样的，这种一般用琴生不等式求解，如果想愉快的使用还要预习下导数才行

还有就是，在老师给你的那些很正的题里才用到。

你不是数学的开拓者，若是你就会懂得许多的公式证明都有柯西不等式的影子
在内，这时也会用到。

所以说，柯西不等式并非万能，只有对应到特殊形式才可以用。

考竞赛的话，直接给你题不可能，通常要经过很麻烦的变形或者不易看出的变形（也许很简单的）才可以使用。若你不考竞赛，看到柯西的形式直接套就可以。

所以你的问题只能说是在做题中不断积累自己的心得，掌握较高的代数技巧之后才能回答的。

我给你两点建议

1、要注意里面的系数都是正系数（不等式原型里给的是平方，仅对二维而言）
有负系数的话变形为正系数才可以用

2、（考竞赛的话）对于齐次不等式而言，可以通过设和定值为一，或积定值为一，来给自己增设隐形条件。
具体的证明很简单，可以问问老师，咱个人觉得加个条件挺好用的。

以上。