初一奥数题（关于质数与合数的）

先进行奇偶分析,偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除4余1，
假设他们的乘积为x，则八个数的平方和=4x-36294=4(x-9074)+2……1
如果八个数都是奇数,他们的平方和是4的倍数与1式矛盾,故至少有一个偶数
如果仅一个偶数,7个奇数加一个偶数是奇数,也与1式矛盾,故至少有两个偶数
偶质数只有2，
故上面得到了8个质数中有两个是2！！！！！！！！！！！！
题目转化为：
在1到20之间求6个质数(不一定不同),使它们的平方和比他们的乘积的16倍小36302：
假设他们的乘积为y,有平方和=16(y-2269)+2,
由(4n+1)^2和(4n+3)^2的展开式可知奇数的平方除8余1,
因此,这六个数都为奇数是可能成立的,但从这方面想太复杂了,故先放着!
假如六个数中存在偶数,由于偶数的平方除8余0或4,从一个偶数一直排除,得到它只能有4个偶数,剩下两个数必为奇数且满足关系a^2+b^2=256ab-36320>0
=>ab>141.875,而141.875的平方根是11.9,假设a回到式子,六个数的平方和=16(y-2269)+2<16*19^2;
得到y<2404.25而2404.25的六次方根是3.660,于是六个数中至少有个3,
式子转化为五个数的平方和=48y-36311<5*19^2=>y<794.0833(y为五个素数的乘积),而794.0833的五次方根是3.80,于是这五个数中至少有一个3!
用同样的方法,得到剩下四个数的乘积y<262.25而它的四次方根是4.024
故四个数中有一个3……剩下三个数的乘积<86.6,它的三次方根是4.4，故这三个数中有一个3
最后剩下两个质数a得到ab<28.59
用分析的方法得到剩下的两个数是3和7或3和5或3和3,
但是没有一个是满足上面那个等式的
最终得到无解！

设2p+1=qn,2q-3=pm(n,m≥1,q,p为奇质数)
=>3(2p+1)+2q-3=3qn+pm
=>3qn+pm=6p+2q
(3n-2)q=p(6-m)
因2p+1=qn,则p≠q
则3n-2=p,6-m=q≥3
则m=1,q=5,可得p=7
m=3,得出q=3,无对应的p值
则q=5,p=7

a、b不可能为偶数或5也不可能同时为3和9
所以只有1379四个数可能，则13、31、17、71、19、91、37、73、79、97
而91是和数
所以去除19、91
和为13、31、17、71、37、73、79、97=418

a+b+c=68，所以有一个质数是a=2
则b+c=66
2b+2c+bc=1121
则2（b+c)+bc=2*66+bc=1121
bc=989
abc=2*989=1978

质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、、、、
若加10、14都还是质数，则p不可能是2
5的倍数，7的倍数（5,7）不可能
各数位和=3n+2或3n+1都不可能
则所有3以后的质数都不可能，
故只能是3
（3-4）的2008次方+（3-2）的2009次方=2

你的题目别人不肯认真做，就让我做来玩玩儿吧。

第二题
我们看到(2p+1)/q 和(2q-3)/p 都是正整数，就知道 2p+1 和 2q-3 都是奇数，p和q 也当然都是奇数，数字2 不可能出现。试一试，
2*3+1 =7，2*7-3 =11，不对；
2*5+1 =11，2*11-3=19，不对；
2*7+1 =15 =3*5，结果可能来了，2*5-3 =7，这就是 p=7，q=5
于是 p"q =49*5 =245

第三题
两位数的“无暇质数”，a和b 都只有 1、3、7、9，偶数和5，只要变成个位数，它就不是质数了，我们一一找出来
13+31 +17+71 +37+73 +79+97 = 13+97 +31+79 +37+73 +17+71= 330+88 =418
注意：19和91不行，是因为 91= 13*7，扑克牌每个花式13张，就是表示我们每个季度13个星期，每年第二季度4月5月6月，也正好30+31+30 =91天啊。
11也是质数，可是 a=b，这个行不行，你自己决定吧。

第四题
三个质数的和，68是个偶数，我们想想
偶数= 偶数 + 偶数，偶数= 奇数 + 奇数
奇数 + 奇数 = 奇数
这三个质数肯定不是三个奇数，其中肯定就有一个数字2
这样一来，a+b+2 =68，就是 a+b =66
再看看 ab+ac+bc =1121，就是 ab+2a+2b =1121 =ab+2(a+b)= ab+ 2*66
ab = 1121 - 132 = 989，于是 abc = 989*2 =1978

第五题
太简单了吧，3、13、17也都是质数，p就是 3 嘛。
(3-4)的2008次方 + (3-2)的2009次方 = (-1)^2008 + 1^2009 = 1+1 =2

第一题
1到20的8个质数，2、3、5、7、11、13、17、19，它们8个的平方和，4+ 9+ 25+ 49+ 121 +169 +289 +361 = 13+ 74+ 290+ 650 = 87+940 =1027，它们8个乘积的4倍，4*2*5*3*17*11*13*7*19= 40*51*11*91*19= 220*102*1729= 220*176358 =3879 8760，平方和才四位数，四倍乘积有八位数，相差怎么会 36294 这个五位数呢？

平方和肯定没有四位数，相差五位数，这个四倍乘积就也是五位数。如果这8个质数全是2，那么四倍乘积就是 4*(2^8)= 4*256 =1024 =2^10，看来这8个质数里面，2还是占了好多个啊。四倍乘积再试试7个质数是2， 4*128*19= 512*19= 9728，还是不到五位数，再试试6个质数是2，其余两个是 x和y，四倍乘积就是 256xy，我们列方程找找 x和y 是谁。

x"+y"+24 =256xy -36294
x"+y"-2xy =254xy -36318
(x-y)"= 2*(127xy -18159)
两个质数如果相差最小，就像19、17仅相差2，这样还有 13和11、11和9、9和7、7和5、5和3，毕竟这两个质数不可能再有2，就不可能 3和2 仅仅相差1了。

(x-y)"=4 =2*(127xy -18159)
127xy -18159 =2
127xy =18161
xy =143 = 144-1 =12"-1 =(12+1)(12+1)
显然，这两个质数就是11和13，这八个质数就是11、13和6个2

我就完全是自己独立思考的，信不信由你了。我自己全部做出来了，也就相当于你们游戏过关了，我就已经满足了，回答采不采纳不在乎了。

楼上 【骆2】辛苦，但是
第一题并不是无解，
有解：(2,2,2,2,2,2,11,13)

2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 11^2 + 13^2 = 314
2×2×2×2×2×2×11×13 = 9152
314 = 9152*4 - 36294

题目挺难，悬赏太低。在你这全做完最多才拿50分。
不如一条题目发一贴。