已知各项均为正数的数列{a n }，满足：a 1 =3，且 2 a n+1 - a n 2 a n - a n+1

2025-05-14 10:31:48

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回答1：

（1）条件可化为 a n+1 -

a n+1

=2( a n -

a n

) ，
因此{ a n -

a n

}为一个等比数列，其公比为2，首项为 a 1 -

a 1

，
所以 a n -

a n

× 2 n-1 =

2 n+2

(n∈ N * ) 1°
因a_n ＞0，由1°式解出a_n =

( 2 n+1 +

2 2n+2 +9

) 2°
（2）由1°式有S_n +T_n = ( a 1 -

a 1

) 2 +( a 2 -

a 2

) 2 +…+( a n -

a n

) 2 +2n
= (

2 3

) 2 +(

2 4

) 2 +(

2 5

) 2 ++(

2 n+2

) 2 +2n
=

( 4 n -1)+2n(n∈ N * )
为使S_n +T_n =

( 4 n -1)+2n(n∈ N * ) 为整数，
当且仅当

4 n -1

为整数．
当n=1，2时，显然S_n +T_n 不为整数，
当n³ 3时，4ⁿ -1=（1+3）ⁿ -1=C_n ¹ ×3+C_n ² ×3² +3³ （C_n ³ ++3^n-3 C_n ⁿ ）
∴只需

+ 3 2

3n-1

为整数，
因为3n-1与3互质，
所以为9的整数倍．
当n=9时，

3n-1

=13为整数，
故n的最小值为9．