15问答网 > 已知抛物线 y=- 1 2 x 2 +bx+4 与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，已知A点坐标为（4，0）

已知抛物线 y=- 1 2 x 2 +bx+4 与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，已知A点坐标为（4，0）

2025-05-06 04:22:20

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回答1：

（1）将点A（4，0）代入抛物线解析式可得：0=-

×4² +4b+4，
解得：b=1，
故抛物线解析式为y=-

x² +x+4；

（2）抛物线y=-=-

x² +x+4与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
则AB=4

，AM=BM=2

，
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直线AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°，
则∠BCM=∠AMD，
故△BCM ∽ △AMD，
则

，即

，n=

，
故n与m之间的函数关系式为n=

（m＞0）．

（3）∵F（-k-1，-k² +1）在y=-

x² +x+4上，
∴-

（-k-1）² +（-k-1）+4=-k² +1，
化简得，k² -4k+3=0，
解得：k₁ =1，k₂ =3，
即F₁ （-2，0）或F₂ （-4，-8），
①MF过点M（2，2）和F₁ （-2，0），设MF为y=kx+b，
则

2k+b=2

-2k+b=0

，
解得：

b=1

，
故直线MF的解析式为y=

x+1，
直线MF与x轴的交点为（-2，0），与y轴交点为（0，1），
若MP过点F（-2，0），则n=4-1=3，m=

，
若MQ过点F（-2，0），则m=4-（-2）=6，n=

，
②MF过点M（2，2）或点F₁ （-4，-8），设MF为y=kx+b，
则

2k+b=2

-4k+b=-8

，
解得：

b=-

，
故直线MF的解析式为y=

，
直线MF与x轴的交点为（

，0），与y轴交点为（0，-

），
若MP过点F（-4，-8），则n=4-（-

）=

，m=

，
若MQ过点F（-4，-8），则m=4-

，n=

，
故当

m 1 =

n 1 =3

，

m 2 =6

n 2 =