已知函数f（x）=mx 3 -x 2 +nx+13（m、n∈R）．（1）若函数f（x）在x=-2与x=1时取得极值，求m、n的值；（

2025-05-09 21:31:03

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回答1：

解（1）f′（x）=3mx² -2x+n，由题意知-2和1是方程f′（x）=0的两根，所以-2+1=

，-2×1=

，解得m=-

，n=4．
（2）当m=n=0时，f（x）=-x² +13．
①若a＜b≤0，因为f（x）在[a，b]上单调递增，所以f（a）=4a，f（b）=4b，即

- a 2 +13=4a

- b 2 +13=4b

，
所以a，b是方程x² +4x-13=0的两个不等实根，但此方程两根异号，与a＜b≤0矛盾，此时无解；
②若0≤a＜b，f（x）在[a，b]上单调递减，
所以f（a）=4b，f（b）=4a，即

- a 2 +13=4b

- b 2 +13=4a

，解得a=1，b=3，
所以[a，b]=[1，3]；
③若a＜0＜b，f（x）在[a，0]上单调递增，在[0，b]上单调递减，
所以f（x）_max =f（0）=13=4b，b=

，f（b）=f（

）=- (

) 2 +13＞0，
因a＜0，最小值4a＜0，所以f（x）在x=a是取得最小值4a，即-a² +13=4a，解得a=-2-

，
此时[a，b]=[-2-

，

]，
综上所求区间为[1，3]或[-2-

，

]．