a^2+1/a^2=(a+1/a)^2-2
目标式可变成√[(a+1/a)^2-2]-√2-a-1/a+2
设f(a)=√[(a+1/a)^2-2]-√2-a-1/a+2 (a>0)
因为a+1/a>=2 所以当a+1/a=2时f(a)有最小值0
所以f(a)>=0
移项 √(a^2+1/a^2)-√2≥a+1/a-2
得证。
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