15问答网 > 已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x 2 +ax．（1）当a=-2时，求函数f（x）的解

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x 2 +ax．（1）当a=-2时，求函数f（x）的解

2025-05-22 11:01:32

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回答1：

（1）当x＜0时，-x＞0，又因为f（x）为奇函数，
所以f（x）=-f（-x）=-（-x² +2x）=x² -2x，
所以f（x）=

- x 2 -2x，x≥0

x 2 -2x，x＜0

．
（2）①当a≤0时，对称轴 x=

≤0 ，所以f（x）=-x² +ax在[0，+∞）上单调递减，
由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以a≤0时，f（x）在R上为单调递减函数，
当a＞0时，f（x）在（0，

）递增，在（

，+∞）上递减，不合题意，
所以函数f（x）为单调减函数时，a的范围为a≤0．
②f（m-1）+f（m² +t）＜0，∴f（m-1）＜-f（m² +t），
又f（x）是奇函数，∴f（m-1）＜f（-t-m² ），
又因为f（x）为R上的单调递减函数，所以m-1＞-t-m² 恒成立，
所以 t＞- m 2 -m+1=-(m+

) 2 +

恒成立，所以 t＞

．
即实数t的范围为：（

，+∞）．