已知函数g(x)=2⼀x+lnx f(x)=mx-(m-2)⼀x-lnx m是实数 1.求函数g

已知函数g(x)=2x+lnx,f(x)=mx−m−2x−lnx，m∈R.
(1)求函数g(x)的极值点；
(2)若f(x)−g(x)在[1,+∞)上为单调函数，求m的取值范围；
(3)设h(x)=2ex,若在[1,e]上至少存在一个x0,使得f(x0)−g(x0)>h(x0)成立，求m的取值范围。

利用导数求闭区间上函数的最值．
（1）求函数的导数，根据函数极值和导数的关系，即可求函数g（x）的极值点；
（2）求函数f（x）-g（x）的导数，根据函数的单调性和导数之间的关系即可求m的取值范围；
（3）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x），将不等式恒成立转化为求函数最值即可得到结论．
(1)∵g′(x)=−2x2+1x=x−2x2.
∴由g′(x)=0得x=2，
当x>2时,g′(x)>0，函数单调递增，
当x<2时,g′(x)<0，函数单调递减，
即x=2是函数g(x)的极小值点。
(2)由(1),得f(x)−g(x)=mx−mx−2lnx，
∴[f(x)−g(x)]′=mx2−2x+mx2，
∵f(x)−g(x)在[1,+∞)上为单调函数，
∴mx2−2x+m⩾0或者mx2−2x+m⩽0在[1,+∞)恒成立，
∵mx2−2x+m⩾0等价于m(1+x2)⩾2x,即m⩾2x1+x2，
而2x1+x2=2x+1x⩽22x⋅1x−−−−√=1，故m⩾1.
∵mx2−2x+m⩽0等价于m(1+x2)⩽2x,即m⩽2x1+x2，
而2x1+x2∈(0,1]，m⩽0.
综上,m的取值范围是(−∞,0]∪[1,+∞).
(3)构造函数F(x)=f(x)−g(x)−h(x)=mx−mx−2lnx−2ex，
当m⩽0时,x∈[1,e],mx−mx⩽0,−2lnx−2ex<0,所以在[1,e]上不存在一个x0，
使得f(x0)−g(x0)>h(x0)成立。
当m>0时,F′(x)=m+mx2−2x+2ex2=mx2−2x+m+2ex2，
因为x∈[1,e],所以2e−2x⩾0,mx2+m>0,所以F′(x)>0在[1,e]恒成立。
故F(x)在[1,e]上单调递增,F(x)max=me−me−4,只要me−me−4>0，
解得m>4ee2−1，
故m的取值范围是(4ee2−1,+∞).