设f（x）在（-∞，+∞）内一阶导数连续，且f（0）=0．如果对平面上任一条简单封闭曲线L，都有∮ L2xyf（x

2025-05-19 05:18:38

推荐回答（1个）

回答1：

记P（x，y）=2xyf（x²），Q（x，y）=f（x²）-x²
∵对平面上任一条简单封闭曲线L，都有

∮

2xyf（x²）dx+[f（x²）-x²]dy=0
∴

＝

，即2xf（x²）=2xf′（x²）-2x
而x是任意的，故：f′（x²）-f（x²）=1
令t=x²，则f′（t）-f（t）=1，这是一阶非齐次线性微分方程，解得
f（t）=Ce^t-1
而f（0）=0
∴C=1
∴f（t）=e^t-1
即f（x）=e^x-1
∵I=

∫

2xyf（x²）dx+[f（x²）-x²]dy与积分路径无关，
∴取积分路径为：从（0，0）到（1，0），再到（1，2）
∴I＝

∫

2xy(ex2?1)dx+[(ex2?1)?x2]dy=

∫

(e?2)dy＝2(e?2)