a,b∈R+，a+b=1,求(a+1⼀a^2)(b+b⼀b^2)的最小值

1

用基本不等式，很麻烦

把1/a展开成9个1/(9a)

把1/b展开成9个1/(9b)

把1/c展开成9个1/(9c)

然后根据10个数的算术平均数，大于其几何平均数

(a1+a2+........+a10)/10>=(a1a2.....a10)^(1/10)

来做

具体过程如下：

(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)=

[a+1/(9a)+.........+1/(9a)]* [b+1/(9b)+.........+1/(9b)]* [c+1/(9c)+.........+1/(9c)] 

>={10[a*1/(9a)^9]^(1/10)} * {10[b*1/(9b)^9]^(1/10)} * {10[c*1/(9c)^9]^(1/10)}

=10^3/[(abc)^(8/10)]*[9^(27/10)]

又因为abc<=[(a+b+c)/3]^3=1/27

所以(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)>=10^3/[(abc)^(8/10)]*[9^(27/10)]>=10^3/[(1/27)^(8/10)]*[9^(27/10)]

=10^3/3^3

=1000/27

第一个>=，等号在a=1/(9a), b=1/(9b), c=1/(9c),  即a=b=c=1/3时候成立，

第二个>=，等号也在a=b=c=1/3时候成立，

两个>=都是在a=b=c=1/3时候取等号。所以最下值为1000/27

2

第二个也可以用这种方法做，但要把1/a^2分成8个1/(8a^2),  1/b^2分成8个1/(8b^2)

(a+1/a^2)(b+1/b^2)

=[a+1/(8a^2)+........(1/8a^2)]* [b+1/(8b^2)+........(1/8b^2)]

>= 9{[a*1/(8a^2)^8]^(1/9)}* 9{[b*1/(8b^2)^8]^(1/9)}

=9^2/[8^(16/9)*(ab)^(18/9)]

因为ab<=[(a+b)/2]^2=1/4

所以(a+1/a^2)(b+1/b^2)>=9^2/[8^(16/9)*(ab)^(18/9)]>=9^2/[8^(16/9)*(1/4)^(18/9)]

=9^2/2^2

=81/4

第一个>=，不等号在a=1/(8a^2)，b=1/(8b^2)，即a=1/2，b=1/2时成立，

第二个>=，等号也也在a=b=1/2时候成立，

所以最小值为81/4

当然最简单的方法是琴生不等式，会非常快

1

设p=(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)

lnp=ln(a+1/a)+ln(b+1/b)+ln(c+1/c)

设f(x)=ln(x+1/x)，x∈(0,1)

求他的二阶导数得到

f''(x)=(-x^4+4x^2+1)/x^2(x^2+1)^2>0

所以f(x)是个下凸函数，

根据琴生不等式

所以f(a)+f(b)+f(c)>=3f[(a+b+c)/3)]=3f(1/3)

即ln(a+1/a)+ln(b+1/b)+ln(c+1/c)>=3ln(3+1/3)=ln(10/3)^3

所以p=e^[ln(a+1/a)+ln(b+1/b)+ln(c+1/c)]>=(10/3)^3

所以(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)的最小值为(10/3)^3

2

另一个

设p=(a+1/a^2)(b+1/b^2)

lnp=ln(a+1/a^2)+ln(b+1/b^2)

设f(x)=ln(x+1/x^2)，x∈(0,1)

求他的二阶导数得到

f''(x)=(-x^6+10x^3+2)/x^2(x^3+1)^2>0

所以f(x)是个下凸函数，

根据琴生不等式

所以f(a)+f(b)>=2f[(a+b)/2)]=2f(1/2)

即ln(a+1/a^2)+ln(b+1/b^2)>=2ln(4+1/2)=ln(9/2)^2

所以p=e^[ln(a+1/a^2)+ln(b+1/b^2)]>=(9/2)^2

所以(a+1/a^2)(b+1/b^2)的最小值为(9/2)^2