设函数f（x）=xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）设F（x）=ax 2 +f′（x）（a∈R），讨论函

2025-05-19 06:15:45

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回答1：

（1）求导函数，可得f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得x=

．
∵当x ∈(0，

) 时，f′（x）＜0；当 x∈(

，+∞) 时，f′（x）＞0，
∴当x=

时， f(x ) min =

．…（6分）
（2）F（x）=ax² +lnx+1（x＞0）， F′(x)=

2a x 2 +1

（x＞0）．
①当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax² +1＞0，解得 0＜x＜

；
令F′（x）＜0，得2ax² +1＜0，解得 x＞

．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在（0，

）上单调递增，在（

，+∞）上单调递减．…（12分）