已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 F(- 3 ，0) ，右顶点为D（

2025-05-22 01:58:28

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回答1：

（1）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=

，则半短轴b=1．
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为

x 2

+ y 2 =1
（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x₀ ，y₀ ），
由

x 0 +1

y 0 +

得

x 0 =2x-1

y 0 =2y-

由，点P在椭圆上，得

(2x-1) 2

+(2y-

) 2 =1 ，
∴线段PA中点M的轨迹方程是 (x-

) 2 +4(y-

) 2 =1 ．
（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，
因此△ABC的面积S_△ABC =1．
当直线BC不垂直于x轴时，说该直线方程为y=kx，代入

x 2

+ y 2 =1 ，
解得B（

4 k 2 +1

，

4 k 2 +1

），C（-

4 k 2 +1

，-

4 k 2 +1

），
则 |BC|=4

1+ k 2

1+4 k 2

，又点A到直线BC的距离d=

|k-

1+ k 2

，
∴△ABC的面积S_△ABC =

|BC|?d=

|2k-1|

1+4 k 2

于是S_△ABC =

4 k 2 -4k+1

4 k 2 +1

由

4 k 2 +1

≥-1，得S_△ABC ≤

，其中，当k=-

时，等号成立．
∴S_△ABC 的最大值是