2009年广州中考数学试题

2009年广州市初中毕业生学业考试
数 学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上面用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的清洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分 选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ）

2．如图2， ，直线 分别与 相交，若 则 （ ）
A．40° B．50° C．130° D．140°

3．实数 在数轴上的位置如图3所示，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．二次函数 的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．图4是广州市某一天内的气温变化图，根据图4
下列说法中错误的是（ ）
A．这一天中最高气温是24℃
B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃
C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高
D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列函数中，自变量 的取值范围是 的是（ ）
A． B． C． D．
8．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）
A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形
9．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为 cm2，设圆锥的母线与高的夹角为 （如图5所示），则 的值为（ ）
A． B． C． D．

10．如图6，在 中， ， 的平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ， ，垂足为 ，若 ，则 的周长为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5

第二部分 非选择题（共120分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．已知函数 ，当 时， 的值是 ．
12．在某校举行的“艺术节”的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出的分数如下：9.3，8.9，9.3，9.1，8.9，8.8，9.3，9.5，9.3，则这组数据的众数是 ．
13．绝对值是6的数是 ．
14．已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题： ．
15．如图7-①，7-②，7-③，7-④，……是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是 ，第 个“广”字中的棋子个数是 ．

16．如图8是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由 块长方体的积木块搭成．

三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分9分）
如图9，在 中， 分别为边 的中点．
证明：四边形 是平行四边形．

18．（本小题满分9分）
解方程： ．

19．（本小题满分10分）
先化简，再求值： ，其中 ．

20．（本小题满分10分）
如图10，在 中， ， ．
（1）求 的度数；
（2）求 的周长．

21．（本小题满分12分）
有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有任何其他区别．现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个且只能放一个小球．
（1）请用树状图或其它适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能情况；
（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率．

22．（本小题满分12分）
如图11，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段 的两个端点都在格点上，直线 经过坐标原点，且点 的坐标是（1，2）．
（1）写出点 的坐标；
（2）求直线 所对应的函数关系式；
（3）利用尺规作出线段 关于直线 的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）．

23．（本小题满分12分）
为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动．某家电公司销售给农户的I型冰箱和II型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的I型冰箱和II型冰箱的销售量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台．
（1）在启动活动前一个月，销售给农户的I型冰箱和II型冰箱分别为多少台？
（2）若I型冰箱每台价格是2298元，II型冰箱每台价格是1999元．根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问启动活动后的第一个月销售给农户的1228台I型和II型冰箱，政府共补贴了多少元？（结果保留2个有效数字）

24．（本小题满分14分）
如图12，边长为1的正方形 被两条与边平行的线段 分割成四个小矩形， 与 交于点 ．
（1）若 ，证明： ；
（2）若 ，证明： ；
（3）若 的周长为1，求矩形 的面积．

25．（本小题满分14分）
如图13，二次函数 （ ）的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点 ， 的面积为 ．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过 轴上的一点 作 轴的垂线，若该垂线与 的外接圆有公共点，求 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点 ，使四边形 为直角梯形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

2009年广州市初中毕业生学业考试
数学试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 3 分，满分 30 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A D B D C B A
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 3 分，满分 18 分．
11．2 12．9.3 13．
14．如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直
15．15； 16．4
三、解答题：本大题考查基础知识和基本运算，及数学能力，满分 102 分．
17．本小题主要考查平行四边形的判定、中位线等基础知识，考查几何推理能力和空间观念．满分9分．
证法 1：∵ 分别是边 的中点，
∴ ．
同理 ．
∴四边形 是平行四边形．
证法 2： ∵ 分别是边 的中点，
∴ ．
∵E为 的中点，
∴ ．
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
18．本小题主要考查分式方程等基本运算技能，考查基本的代数计算能力．满分 9 分．
解：由原方程得 ，
即 ，
即 ，
∴ ．
检验：当 时，
∴ 是原方程的根．
19．本小题主要考查整式的运算、平方差公式等基础知识，考查基本的代数计算能力．满
分10分．
解：

．
将 代入 ，得

．
20．本小题主要考查圆、等边三角形等基础知识，考查计算能力、推理能力和空间观念．满分 10 分．
解：（1）∵ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ．
∴ 是等边三角形．
求 的半径给出以下四种方法：
方法1：连结 并延长交 于点 （如图1）．
∵ 是等边三角形，
∴圆心 既是 的外心又是重心，还是垂心．
在 中 ，
∴ ．
∴ ，即O的半径为2cm．
方法 2：连结 ，作 交 于点 （如图 2）
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ 中， ．
在 中， ，
∴ 即 ．
∴ ，即 的半径为2cm．
方法3：连结 ，作 交 于点 （如图 2）．
∵O是等边三角形 的外心，也是 的角平分线的交点，
∴ ．
在 中， 即 ．
∴ ．
∴ ，即O的半径为2cm．
方法 4：连结 ，作 交 于点 （如图2）．
∵O是等边三角形的外心，也是 的角平分线的交点，
∴ ．
在 中，设 ，则 ，
∵ ，
∴ ．
解得 ．
∴ ，即O的半径为2cm．
∴ O的周长为 ，即 ．
21．本小题主要考查概率等基本的概念，考查．满分12 分．
（1）解法1：可画树状图如下：

共6种情况．
解法2：3个小球分别放入编号为①、②、③的三个盒子的所有可能情况为：红白蓝、红蓝
白、白红蓝、白蓝红、蓝红白、蓝白红共6 种．
（2）解：从（1）可知，红球恰好放入 2 号盒子的可能结果有白红蓝、蓝红白共 2种，
所以红球恰好放入2号盒子的概率 ．
22．本小题主要考查图形的坐标、轴对称图形、尺规作图、一次函数等基础知识，考查用
待定系数法求函数解析式的基本方法，以及从平面直角坐标系中读图获取有效信息的能
力，满分12分．
解：（1） ， ；
（2）解法1：∵直线 经过坐标原点，
∴设所求函数的关系式是 ，
又点 的坐标为（1，2），
∴ ．
∴直线 所对应的函数关系式是 ．
解法 2：设所求函数的关系式是
则由题意得：

解这个方程组，得

∴直线 所对应的函数关系式是 ．
（3）利用直尺和圆规，作线段 关于直线 的
对称图形 ，如图所示．

23．本小题主要考查建立二元一次方程组模型解决简单实际问题的能力，考查基本的代数计算推理能力．满分12分．
解：（1）设启动活动前的一个月销售给农户的 I型冰箱和 II型冰箱分别为 台．
根据题意得
解得
∴启动活动前的一个月销售给农户的 I型冰箱和 II型冰箱分别为560台和400台．
（2）I型冰箱政府补贴金额： 元，
II 型冰箱政府补贴金额： 元．
∴启动活动后第一个月两种型号的冰箱政府一共补贴金额：
元 ．
答：启动活动后第一个月两种型号的冰箱政府一共约补贴农户 元．
24．本小题主要考查正方形、矩形、三角形全等等基础知识,考查计算能力、推理能力和空间观念．满分14分．
（1）证明1：在 与 中，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
证明2：在 中， ．
在 中，
∵ ，
∴ ．
（2）证明1：将 绕点 顺时针旋转 到 的位置．
在 与 中，
∵
，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
证明2：延长 至点 ，使 ，连结 ．
在 与 中，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（3）设 ，则 ， ．（ ）
在 中， ．
∵ 的周长为1，
∴ ．
即 ．
即 ．
整理得 ． （*）
求矩形 的面积给出以下两种方法：
方法1：由（*）得 ． ①
∴矩形 的面积 ②
将①代入②得

．
∴矩形 的面积是 ．
方法2：由（*）得 ，
∴矩形 的面积

∴矩形 的面积是 ．
25. 本小题主要考查二次函数、解直角三角形等基础知识，考查运算能力、推理能力和空间观念．满分14分．
解：（1）设点 ， ，其中 ．
∵抛物线 过点 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵抛物线 与 轴交于 两点，
∴ 是方程 的两个实根．
求 的值给出以下两种方法：
方法1：由韦达定理得： ．
∵ 的面积为 ，
∴ ，即 ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
解得 ．
∵ ，
∴ ．
∴所求二次函数的关系式为 ．
方法2：由求根公式得 ， ．
．
∵ 的面积为 ，
∴ ，即 ．
∴ ．
∴ ．
解得 ．
∵ ，
∴ ．
∴所求二次函数的关系式为 ．
（2）令 ，解得 ．
∴ ， ．
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 是直角三角形．
∴ 的外接圆的圆心是斜边 的中点．
∴ 的外接圆的半径 ．
∵垂线与 的外接圆有公共点，
∴ ．
（3）假设在二次函数 的图象上存在点 ，使得四边形 是直角梯形．
①若 ，设点 的坐标为 ， ，
过 作 轴，垂足为 ，如图1所示．
求点 的坐标给出以下两种方法：
方法1：在 中，
，
在 中， ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
．
解得 或 ．
∵ ，
∴ ，此时点 的坐标为 ．
而 ，因此当 时在抛物线 上存在点 ，使得四边形 是直角梯形．
方法2：在 与 中， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
以下同方法1．
②若 ，设点 的坐标为 ， ，
过 作 轴，垂足为 ，如图2所示．
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
．
解得 或 ．
∵ ，
∴ ，此时 点的坐标为 ．
此时 ，因此当 时，在抛物线 上存在点 ，使得四边形 是直角梯形．
综上所述，在抛物线 上存在点 ，使得四边形 是直角梯形，并且点 的坐标为 或 ．