15问答网 > 求出曲线x=t,y=t^2,z=t^3上的点，使在该点的切线平行于平面x+2y+z=4。

求出曲线x=t,y=t^2,z=t^3上的点，使在该点的切线平行于平面x+2y+z=4。

2025-05-19 19:43:43

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回答1：

曲线x=t,y=t^2,z=t^3 的切线斜率
x=1, y = 2t, z=3t^2

切线平行于平面x+2y+z=4，切线斜率与平面的法向量点积为0
1*1+2t*2+3t^2*1 = 0
t= -1 或 -1/3, 代入直线方程
x=-1, y=1,z=-1, 或 x=-1/3, y=1/9, z=-1/27

回答2：

曲线的切线和平面平行等价于曲线切线的方向向量垂直于平面法向量
解：平面法向量n=(1,2,1)
曲线切线方向向量s=(1,2t,3t^2)
由s*n=0得1+4t+3t^2=0,解得：t=-1/3或-1
带回参数方程得：所求点为(-1/3,1/9,-1/27)或(-1,1,-1)