关于X的不等式|X-1|-|X-2|<a^2+a+1解集为空R，则实数a的取值范围是多少

解：因为不等式|x-1|-|x-2|（1）当x<1时，|x-1|-|x-2|=1-x+x-2=-1＜0＜a²+a+1=(a+1/2) ²+3/4恒成立。
（2）当x>2时, |x-1|-|x-2|=x-1-x+2=1，要使|x-1|-|x-2|＜a²+a+1，即：1＜a²+a+1
故：a²+a＞0，故：a＞0或a＜-1。
(3)当1≤x≤2时，|x-1|-|x-2|=x-1+x-2=2x-3
因为1≤x≤2，故：-1≤2x-3≤1
要使|x-1|-|x-2|＜a²+a+1，即：2x-3＜a²+a+1
故：只要满足1＜a²+a+1即可
故：a＞0或a＜-1

综合以上三种情况，可知：a＞0或a＜-1

由于解集为R，所以：
情形1：x<1，化简原式，得a²+a+2>0。
情形2：x>2,化简原式，得a²+a>0。
情形3：1<=x<=2，化简原式，得a²+a-2>-x。所以a²+a-2>-1
..则，a²+a-1>0。

对比3种情形下的3条式子，发现只要满足3式，就满足了1式、2式。所以只解3式。

解得结果：a>(√5-1)/2 或a< -(√5+1)/2

解：由绝对值不等式的性质知：|X-1|-|X-2|<=|（x-1)-(x-2)|=1

原不等式解集为R等价于1
所以实数a的取值范围是：a<-1或a>0